第29届全国中学生物理竞赛预赛第16题解法探究

欧剑雄

（福建省星空体育网页版(中国)官方网站/登录/入口 福建 莆田 351100）

试题（第29届全国中学生物理竞赛预赛第16题）：一质量的人造卫星在离地面的高度为的高空绕地球做圆周运动，那里的重力加速度的。由于受到空气阻力的作用，在一年的时间内，人造卫星的高度要下降。已知物体在密度为的流体中以速度运动时受到的阻力可表示为，式中是物体的最大横截面积，是拖曳系数，与物体的形状有关。当卫星在高空中运行时，可认为卫星的拖曳系数，取卫星的最大横截面积。已知地球的半径。试由以上数据估算卫星所在处的大气密度。

1 根据功能关系求解

解析：物体在轨道半径为处做圆周运动时，有

，，

故卫星机械能

卫星一年前的轨道半径，一年后的轨道半径，

因，

故在此过程中卫星机械能的变化量

当轨道半径为时，卫星速度。

由于一年内卫星轨道半径的变化很小，故在算阻力做功时，可近似认为卫星在这一年内的速度大小不变为，一年内阻力做的功 ，即，故，

代入数据得

2 根据角动量定理求解

解析：物体在轨道半径为处做圆周运动时，有，又

故卫星角动量

卫星一年前的轨道半径，一年后的轨道半径

一年中卫星角动量变化量

因，故

由于一年内卫星轨道半径的变化很小，故在算阻力的力矩时可近似认为卫星在这一年内的轨道半径、速度大小不变，对卫星根据角动量定理有

，即

故，结果同前。

点评：以上两种解法均采用了近似的思想。由于本题中卫星轨道半径的变化与轨道半径本身相比是一个极小的量，且题目只要求估算，因此采用近似的思想可以简化物理过程、避开不必要的繁琐推导与运算，达到快速解决问题的目的。

但是采用近似方法时，要注意到近似的条件，其基本的思想是抓住主要因素、忽略次要因素。一个物理量是否是次要因素，不是取决于这个物理量本身的大小，而取决于这个物理量对所要研究的问题的影响大小。

笔者在参加福建省莆田市预赛的阅卷中，发现不少学生采用了如下错误的解法：

 因，，

故，，

由于卫星轨道半径的变化很小，故可近似认为一年中卫星的速度大小不变，

阻力近似看为恒力，

在卫星运动轨迹的切线方向上，根据牛顿第二定律有，

而

故，代入数据得

此解法解出的大气密度的表达式与参考答案一模一样，因此有很大的迷惑性，甚至不少参与阅卷的同仁也觉得这种方法是正确的。笔者觉得有必要做一说明。

上述解法的错误出在这一式上。很明显，卫星轨道半径减小时，运行速度会增大，而阻力是不可能使卫星做加速运动的，是引力的作用让卫星的速度变大。在列切线方向的牛顿第二定律时，必须要考虑引力的作用。因为卫星的轨道半径在不断减小，所以卫星的运行轨迹并非圆周，引力在切线方向上的分力是不为零的。

为什么我们在用能量和角动量的方法解题时可以把卫星的运动近似看成圆周运动，而在此处却不可以。这是因为，虽然卫星的运行轨迹与圆周间的夹角非常小，引力在切线方向上的分力也很小，但是阻力也很小，引力的分力与阻力相比，并非一个小量，所以不可以把引力的分力忽略。一个物理量能否忽略不计，不是看它本身的大小，而是要看它是否比与其起相同作用的其它物理量小得多。通过计算可以得知，此处引力在切线方向上的分力是阻力的2倍，因此是万万不可忽略的。

下面给出用牛顿运动定律求解的正确过程，供参考：

3 根据牛顿运动定律求解

解析：因，，

故，，

由于一年内卫星轨道半径的变化很小，因此可近似认为卫星在运行过程中周期不变，

根据，，可得，

卫星在一年内转过的角度，卫星每转过，轨道半径的变化量，卫星轨道与圆周的夹角

在卫星运动轨迹的切线方向上，根据牛顿第二定律有

即

故，结果同前，且易知。

4 在极坐标系下根据牛顿运动定律求解

解析：卫星一年前的轨道半径，一年后的轨道半径

根据，，，，

可得，，

由于一年内卫星轨道半径的变化很小，可近似认为速度大小不变为

卫星平均角加速度，平均径向速度

在极坐标系下，法向方向的运动学方程为

在本题中，有

（此处法向方向非卫星轨迹的切线方向，因此引力在此方向分力为零。阻力虽然并非严格沿法向方向，但两者夹角很小，故阻力在法向方向上的分力可近似为。）

即，

所以，结果同前。

点评：第3、4两种解法也采用了近似的方法，由于卫星轨道半径变化很小，线速度、角速度的大小几乎不变，所受阻力大小也几乎不变，因此可认为卫星轨道半径大小随时间均匀减小，固有，。

本文发表于北大中文核心期刊《物理教师》（32-1216/O4）2013年第11期。