高中数学单元高效复习教学的实践与思考

            ----以必修四《三角函数的图象与性质》单元复习设计为例

                  蒲锦泉       星空体育网页版(中国)官方网站/登录/入口（351100）         

单元复习在数学教学中占有重要的地位，在章节的新授课之后，要把零散的知识“串连”起来，形成“逻辑连贯”的有机整体.但在实际教学中，我们有时限于课时，单元复习做得比较匆忙，有时是知识清单的低层次简单罗列，思想方法总结不到位，思维不深刻，无法触发学生的高效学习、深度学习等.本文以人教A版必修四《三角函数的图象与性质》单元复习设计为例，对单元高效复习教学作一些思考.

1学情与教学内容分析

1．1学情分析

本课例授课对象是本校的高一学生，基础较好,自学能力较强.本节课是在学生已经学习了三角函数图象与性质之后的一节单元复习课，学生对三角函数图象与性质已有一定的理解，因此课堂上要积极引导学生自主、交流、探究学习，主动参与课堂建构活动. 

1．2教学内容分析

    三角函数作为基本的初等函数，是函数知识学习的继续，又是高等数学学习之必备.三角函数作为刻画周期现象的函数模型，学习并研究它可以进一步加深对函数图象性质的认识，它在实际中也有许多应用，同时它也是高考命题的热点，因此我们要站在学科整体的角度，重新构建学习序列，补缺补漏，体会规律，感悟思想，提升学习层次，特别是有关三角函数的周期性、单调性、对称性、图象及其变换等问题，以触发学生深度学习.

教学目标：（1）进一步理解并掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象、性质及其应用；（2）会用“五点法”画正弦型函数的简图，进一步理解三角函数图象间的变换关系；（3）会求、、的有关性质及简单应用。（4）在解决问题的过程中体会蕴涵其中的数学内在联系和思想方法，感受数学之美.

重点难点：三角函数的图象与性质的知识网络构建，思想方法的归纳提升，并能应用其解决相关问题.

教学方法：采用“学案导学”教学模式，以讨论对话、自主探究学习为主，辅以适当点拔和启发. 

2 教学过程设计(简化)

   课前让学生完成导学案并交流:（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质的比较（列表）；（2）对于函数，如何用五点法画出它简图；如何由的图象得到它的图象并写出图象变换过程（多路径）；如何研究它的性质及其应用.

2．1函数的图象与性质

【例1】已知函数的图象两对称轴之间的

最小距离为．

（1）画出函数在区间上的图象；

（2）由的图象经过怎样的变换可得到函数的图象；

（3）当函数取得最大值时，求相应自变量的集合；

（4）求函数的单调递减区间；

（5）若函数向左平移个长度单位后,所得到的的函数为偶函数,则求的最小值；  

（6）求函数的值域.

【设计意图】本例涉及正弦型函数的图象及其变换、周期性、单调性、对称性、值域等问题，统整这些性质，旨在强化基础知识和通性通法,并归纳如下问题：

（1）如何画用“五点法”画函数的简图？由的图象经过怎样的变换可得到的图象？怎样推广？即

（2）处理函数相关问题的两个思路：①整体思想，，则，再利用正弦函数图象与性质处理，如求最大（小）值和单调区间；②先作函数的简图，这样包括该函数的单调区间、值域、平移等问题是就容易解决了.

2.2由图象确定函数的解析式

【例2】（1）已知如图是函数的图象，那么(     )

A.，＝    B. ，＝－

C. ，＝    D. ，＝－

（2）已知函数，

的部分图像如下图，则         ．

答案：（1）由图象过（0，1），容易得到，再由五点法的作图过程知，选C.

（2）.

【设计意图】通过正弦型函数与正切型函数比较分析,并主要引导学生归纳出已知函数图象求解析式的一般思路.

2.3 三角函数的图象与性质的综合应用

【例3】已知函数在上最大值为1，求实数的值.

解析：由已知函数在上递增，且又因为，这时

师：能否简约处理？比如直接令可以吗？

生：由“五点法”作函数简图过程可知.

师：很好.如果原题中改为，实数的取值又是什么？

生：转化！因为函数的图象关于X轴对称，所以问题可转化为若函数在上最小值为-1，求实数的值.与例3相似，有

师:为什么要这样转化?

生: 因为我们对时函数的图象更容易把握.

师:化未知为已知处理.你们还能编出一些类似问题吗？

师：下面是同学提到的几个问题，请同学们课后继续思考.

变式：

（1）已知函数在上单调递增，求实数的取值范围.

（2）已知函数在区间上的最小值为-2，求的取值范围.

（3）已知函数内是增函数，求取值范围.

(答案：)

【例4】已知，且在区间有最大值，无最小值，则＝_____．

解析：依题意且的图像关于对称，∴,，取得

【设计意图】高考对三角函数图象与性质的考察灵活多变,因此通过变式训练和编题活动,引导学生思维往纵深发展.在处理字母取值问题时，要特别关注周期对其隐含的约束.

2.4.拓展与探究

【例5】

【设计意图】数学教学核心任务是促进学生学会思考, 学以致用,使他们能用所学知识去处理一些新问题,以培养学生的应用意识、创新意识.

2．5随堂训练

（1）关于函数f(x)＝4sin(2x＋), (x∈R)有下列命题：

①y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；

② y＝f(x)可改写为y＝4cos(2x－)；

③y＝f(x)的图象关于(－，0)对称；

④ y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称；

其中正确的序号为       .

（2）已知函数)的部分图象如图所示，，则=(  ) .

Ａ．   B.    C.   D.      

（3）已知,函数在上单调递减.则的取值范围是（  ）.

A． B． C． D．

(答案：（1）②③；（2）B；（3）A)

2.6归纳提练

师：本节课我们学习了怎样系统整理知识、归纳解题规律、提练思想方法、研究与拓展问题等。 通过本节的学习你有哪些感悟？学习中涉及有哪些数学思想？

生：整体处理问题，如求的单调区间时，可用整体换元、进而转化为的研究.

生：把不熟悉问题转化为熟悉问题的化归与转化思想，如例3的变式.

生：研究问题的基本思路:先从特殊开始,再推广到一般.如在正弦函数的研究之后研究函数图象与性质，并推广到一般函数中的图象变换.

生: 在解决三角函数的问题时，常要结合相应函数的图象处理等，体现了数形结合的思想.

生:对于周期函数而言，可先研究一个周期性质，再拓展.

……

2.7作业(略)

3.回顾与思考

单元复习教学就是站在学科整体高度去重新审视和把握本单元教学的重难点以及各个知识点之间的联系.是对本单元所学的“四基”的再认识、再提高的过程；是学生发现问题、分析问题、解决问题能力的再体验、再发展的过程；是注重联系、对数学整体和本质的再理解、再提升的过程. 高中数学课程标准指出：“高中数学教学活动的关键是促使学生学会数学思考” .培养学生的“四基”、“三用”、“四能”和数学核心素养是数学教学的落脚点和归宿. 那么如何实现单元的高效复习？我主张要把数学教的自然简约、灵动厚重些. 

3．1高效复习的课堂是有“法”的课堂

复习的基本理念：立足基础与通法、注重过程与联系、突显本质与思想、关注探究与应用、追求“多样”与“开放”，形成结构与系统.

 （1）针对性，复习课目标定位要有针对性.要了解学生对本单元知识的掌握情况，存在的问题，学习需求，个体差异等，准确把握课标对本单元知识的要求层次，有针对性地进行教学设计，完善认知结构.

（2）基础性，注重核心知识及通性通法的理解与掌握.要将“四基”的落实放在首位，把握教学内容的重点和难点，并反复进行强化训练，形成根深蒂固的技能.

 (3)整体性, 着眼于建立良好的认知结构.使本单元的知识之间、本单元知识与其它单元知识之间、本单元知识与不同的学科知识之间建立结构化的知识体系． 

(4)有序性,关注知识间的内在的逻辑关系.科学安排教学程序，问题呈现、逻辑化与结构化.

(5)发展性,以提高学生“三用”、“四能”为核心任务, 激发学生的求知欲和好奇心，有序推进,螺旋上升，促进学生学会数学思考.

（6）综合性，以数学核心素养为导向，着眼于相关知识的综合应用，突出数学本质与数学思想.数学复习一方面需要把知识进行综合组织，形成认知的网络化、结构化；另一方面，需要进行数学知识的综合应用的体验，在此基础上提炼数学思想方法和解决问题的策略，着力提升学生的数学核心素养．

3．2高效复习的课堂是自然简约的课堂

高效复习的课堂首先应有高效的教学设计，其关键是两个方面的设计(1)提好的问题，“好问题”有两个标准，即有意义，并且在学生的思维最近的发展区内，“有意义”就是要反映当前学习内容的本质；“在学生思维的最近发展区内”的问题才能形成认知的冲突，激活学生思维.（2）设计自然的过程，这是数学知识发生发展的再创造过程与学生认知过程的有机融合,遵循知识逻辑链和思维链以及两者的契合.只有自然的过程，才能引出学生更多的想法，让知识在学生的头脑中自然流淌出来.例1中把三角函数的变换规律推广到一般函数情形就是顺理成章的事；例3及变式，由大于0改为小于0，由正弦到正切函数, 由浅入深，触发深度思考.

    统整、精简教学内容是走向核心素养的重要前提，复习内容的多、繁，必然导致形式主义和死记硬背，内容一多，必然是赶任务，负担过重必然导致思维肤浅，无法实现“透彻地教与学”.如何做到简约？

首先，要整体把握复习教学内容，与隐含在教材背后的数学本质、思想方法等数学“灵魂”进行深度对话，以数学本质、数学思想为主线来统领和组织教学。要深挖本单元的知识主线、思想方法主线、教学价值（延伸与拓展、生长性）。注重内容的统整，突出主线内容的系统性，关注各主线内容的关联性。“融会贯通的过程,才能透过繁杂的现象，抓住了数学本质，也便于记忆”.

本设计既对本单元常见的问题进行了有机整合，如例1，分别涉及三角函数的作图、单调区间、最值、图象的变换、对称等问题，注重通性通法。同时也对本单元知识方法作了归类，涉及三角函数的图象与性质、由已知图象求解析式、字母参数、综合应用等.

其次，教学中我们如果能从某一问题入手，通过一题多解，一题多变、一题多用、一题多联、多题一法等方式，可以达到以少胜多,以简驭繁.这样的问题是需要我们对课程目标、教材内容的精准把握的基础上才能做到更加到位.教师只有深入研究教材，才能简出，浓缩其精华，掌握其思想、突显其本质.高效复习的课堂应有：精当的问题、精彩的展示、精确的讲解、精妙的想法、智慧的对话、愉悦的体验、绝妙的生成、高效的检测、简约的小结、有机的整体、清晰的结构.课堂上教师语言要精练，大道至简，精确制导，说到点子上，点在关键处.总结应简约明了，要让学生看得清、想得透、记得住、拿得来、用得好，见木见林.同时要精编练习和作业，让学生从题海中走出来实现高效减负.

3．3高效复习的课堂是灵动厚重的课堂

高效复习的课堂,是“生本”和“生长”的课堂，是学生对所学内容主动实现意义建构的课堂.而教师的作用，在“于无向处指向、于无法处教法、于无疑处生疑、于无力处给力、于徘徊处点拨，唯如此才能生成高效而智慧的课堂” .教学中要理解学生,多倾听学生的想法，鼓励学生提出问题，说出见解,并利用好错误资源， “延时判断”,实时讲评.本节的例3 的教学是个难点、也是亮点和创意点，它的变式、学生的编题等活动，都在师生的智慧对话中完成，同时也把本节课推到了一个高度,其中能否理解好“五点法”作简图过程而迅速解决相关问题是关键.这样在分析与解决问题过程中达到对知识的融会贯通，透切地学习.通过单元复习教学,帮助学生梳理了本单元的知识结构、感悟数学规律的形成过程，提练思想方法,使学生形成相对完善的认知结构，使之条理化，并加深对数学本质的认识，实现由“厚到薄”的过程，实现课堂的灵动与厚重.

3．4高效复习的课堂是反思感悟的课堂

教是为了不教,最终要内化为学生自觉行动,学会数学地思考:如何归纳和整理知识？本单元的知识、思维结构图怎么构建？核心概念、知识、思想是什么？如何对问题进行抽象概括？如何做解题后的反思，有无更好的解法？能否类比和归纳推广？能否特殊化与一般化？逆命题能否成立？如何对问题进行变式拓展探究？如何学以致用？如何把零散的知识化系统化？等等.复习课要让学生从学知识到学方法，从学方法到感悟规律，从感悟规律到形成数学思想，甚至上升到理性的高度，要帮助学生形成“知识、方法、规律、思想、素养”的模块，使他们“头脑强大起来”.更重要的是，通过复习，让学生学会认识研究问题的视角：“由寻找联系人手，用数学思想方法，把个别的、离散的现象构造成浑然一体的系统，这已经标志着能力的提高和素养的发展了”.

发表于《福建中学数学》2016.04期