从交变电流的有效值说起

——2014年高考物理新课标Ⅱ卷第21题引发的争议

欧剑雄

（福建省星空体育网页版(中国)官方网站/登录/入口 福建 莆田 351100）

如图，一理想变压器原、副线圈的匝数分别为、。原线圈通过一理想电流表    接正弦式交流电源，一个二极管和阻值为的负载电阻串联后接到副线圈的两端。假设该二极管的正向电阻为零，反向电阻为无穷大。用交流电压表测得、端和、端的电压分别为和，则

A．

B．增大负载电阻的阻值，电流表的读数变小

C．负载电阻的阻值越小，间的电压越大

D．将二极管短路，电流表的读数加倍

一、两种典型解法的讨论

本题为2014年高考新课标Ⅱ理综卷第21题，此题的D选项引发了较大的争议，代表性的解法有如下两种。

解法1：设二极管被短路时一个周期内电路消耗的电能为，则当二极管未被短路时，由于理想二极管的单向导通性，一个周期内电路消耗的电能。又有，，且两次原线圈中电压有效值相同，所以，故D选项正确。

解法2：在二极管被短路时，通过电流表的电流为正弦式电流，则电流表的读数。在二极管未被短路时，按照有效值的定义，有，得。所以，故D选项错误。

上述两种解法到底孰是孰非？这个问题要从交变电流的有效值说起。

交变电流的数值，凡没有特别说明，都指有效值；一般交流电流表和交流电压表测出的数值，指的都是有效值。因此，本题D选项所讨论的电流表读数显然是指电流的有效值。上述两种解法在此问题上的看法是一致的。

交变电流的有效值是按电流热效应的等效来定义的，具体如下：如果交流电与某一直流电通过同一电阻，在相同时间内所产生的热量相等，则这个直流电的电流和电压值，就分别称为相应交流电的电流和电压的有效值。按照上述定义，有

，得。

同理有。因此有效值也称为方均根值。

本题中，在二极管被短路时，电流表的读数；在二极管未被短路时，由于理想二极管的单向导通性，， 所以，D选项错误。

有效值定义中的热效应与实际电路中的热效应无必然的关系，让“交流电与某一直流电通过同一电阻”其实只是假想的过程，和电场强度与试探电荷所受的电场力、电荷量无关一样，相同波形的交流电的有效值并不会因为电路的不同而不同。解法1错误地将实际电路中的热效应与有效值定义中的热效应混淆，是对有效值定义的误解。

解法1的另一个错误在于混淆了视在功率和有功功率。交流电路中电压有效值和电流有效值的乘积称为视在功率，即。电路中的实际功率（亦称有功功率）与视在功率并不相等，两者之间的关系为（为功率因数）。即使是纯电阻负载，经过理想二极管整流的单相半波整流电路的功率因数仍不为1，而是。因此，解法1中的式子“”应改为“”，这样订正后两种解法的结果就是一致的。而解法1中所求的二极管未被短路时的电流实际上只是电路中的有功电流。

上文的讨论虽然很多地方超出了高中知识的范围，但是只要抓住有效值的定义，在高中知识范畴内，仍然可以得到D选项错误的结论（解法2便是如此）。对物理概念的准确把握是学习物理的根本，也是解决问题的基础。

二、四个典型疑问的释疑

本试题在网络上引起了广泛的讨论，针对讨论中出现的一些典型疑问，笔者在此作逐一的解释。

疑问一：纯电阻负载功率因数怎么会不是1？

负载功率因数与电路功率因数是两个不同概念。纯电阻负载的功率因数一定是1，但这并不意味着电路的功率因数也为1。因为二极管的存在，接纯电阻负载的单相半波整流电路的功率因数为，而非为1。（原因是此时电流为非正弦电流，存在谐波电流，此时计算功率因数应考虑谐波功率因数。）如果要从电阻R来计算，应考虑到半个周期内电阻两端是无电压的，其两端电压的有效值应该是而非。

电阻消耗的实际功率可以按以下两种方法计算：

                      （1）

式（1）中和分别为电阻两端电压的有效值和通过电阻的电流的有效值。

                      （2）

式（2）中和分别为副线圈两端电压的有效值和通过副线圈的电流的有效值。

联立（1）、（2）式子可得，。

疑问二：解法2算的是副线圈的有效电流，与原线圈是否一致？电流之比在此是否还能用？

实际上，对于只有一个副线圈的理想变压器，原副线圈的电流总是成正比的。（证明过程此处略去不写，读者可参阅大学电磁学教材，如文献^[1]。）任意时刻的电流成正比，不难证明有效电流也是成正比的。

可能会有人指出，二极管反接时变压器已不能看出理想变压器，这是否会对上述结论造成影响？答案肯定的。如果考虑这个因素，那么两次的电流之比既非2也非。不过由于二极管正接时原线圈的电流远大于变压器空载时的励磁电流，因此励磁电流的影响可以忽略不计。在此前提下，可算得两次电流之比为。

对于高中学生而言，可以先画出原线圈电流的波形图（为半波的正弦电流），再根据有效值的定义去计算，而无需考虑上述因素。

疑问三：仿真实验做出来的结果显示D答案是对的，这该如何解释？

有的老师按照题目的条件做了仿真实验，实验结果显示二极管被短路时电流表的电流为二极管未被短路时的2倍，并试图以此证明D选项是正确的。那么，实验结果为什么不能说明问题？这要从交流电表的测量原理说起。

交流电表按其响应形式可分为平均值响应、有效值响应和峰值响应三种主要形式。平均值响应的电表是把被测信号假定为标准的正弦波，并通过电表内部的整流电路将交流变成直流，然后测出其平均绝对值并乘于一定的系数（对于全波整流的正弦波，该系数为；对于半波整流的正弦波，该系数为）得出有效值。平均值响应的电表结构简单、成本低，所以比较常见，但这种电表只能用来测标准的正弦波。本题中原线圈的电流并非标准正弦波，因此不可用平均值响应的电表来测量。仿真实验得出电流为2倍的实验结果正是因为其电表是平均值响应的，因此该实验的结果是错误。事实上，也有老师通过实验得出两次电流相等的实验结果。不同的实验结果仅仅是所用电表的问题，而非电路电流的有效值发生了变化。要用实验验证本题，应该采用测真有效值的电表。

抛开这些高中学生几乎不可能知道的电表工作原理不讲，回到有效值本身来——没有特别指明的情况下交流电流表和交流电压表测出的数值指的都是有效值——从有效值的定义来看，答案D显然是错的。

疑问四：能量法在此题可行不可行？

有的老师有这样的疑问，如果说本题D答案是错的，那是不是意味着能量守恒在这里不成立？毋庸置疑，能量守恒肯定是可用的。但是用能量法要注意区分有功功率和视在功率。对于只有一个副线圈的理想变压器来讲，输入、输出端的有功功率和视在功率分别对应相等。二极管未被短路时，如果按视在功率相等来算，式子应该为

                 （3）

如果按有功功率来算，式子应该为

                 （4）

式（3）和式（4）中的和分别表示副线圈两端电压的有效值和通过副线圈的电流的有效值，为二极管被短路时电路消耗的功率，式（3）等号右边和式（4）等号左边的为电路功率因数。

利用式（3）或式（4）都可算得，。

三、结论

第一，从上述的讨论来看，根据有效值定义的解法2无疑是正确的，解法2的计算结果也是符合科学实际的，本题D选项显然是错的。

第二，就高中知识而言，解法1算得的结果虽然不合实际，但也不无道理（高中生几乎不可能知道有功电流和有效电流的区别）。选“B”和选“BD”的考生所表现出来的物理能力大抵相当，两者都应该获得满分。

第三，高考中应尽量避免出现这种题目。

参考文献

[1]赵凯华,陈熙谋.电磁学（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2011,7:343-348,515-518

本文发表于《物理通报》（13-1084/O4）2015年第4期。