串联式欧姆表的误差分析及其量程选择

欧剑雄  陈国文

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摘要：结合串联式欧姆表的工作原理及误差分析原理可知，减小测量相对误差的有效方法是选择合适的量程，使得被测电阻与中值电阻尽可能接近。中值内阻为的量程对应的最佳测量范围为“”，正确选择欧姆表量程的依据是让指针落在满刻度的“”之间。

关键词：欧姆表；相对误差；精确度等级；电池电动势；电池内阻；量程选择

1. 引言

在使用欧姆表测电阻时，为了提高测量结果的精度，应尽量选择好量程使指针指在刻度中间一段，否则测量误差就很大：大多数大学电磁学实验教材都有类似的表述。“刻度中间一段”的范围到底有多大？各教材所给的范围则不尽相同，有的定性地说“在标度尺中间两侧附近”^[1]，有的定量地说“”^[2]或“”^[3][4]，还有的电工教材说“” ^[5]。至于为什么“指针指在刻度中间一段”时误差较小？基本上所有的教材都没有做详细的分析。本文将从欧姆表的工作原理出发，结合误差分析原理，讨论利用欧姆表测量电阻时量程的选择与相对误差大小的关系，希望能够对上述2个问题做一个系统而又细致的解答。

2. 欧姆表的工作原理

2.1. 欧姆表测量电阻的基本原理

欧姆表分串联式和并联式两类（本文仅讨论串联式），被测电阻与欧姆表表头串联的称为串联式欧姆表，其基本原理如图1所示^[4]。其中为干电池，其电源电动势、内阻分别记为、，为调零电阻，为待测电阻，为表头，其满偏电流、内阻分别记为、。

测量前，需要先进行欧姆调零，即将红黑表笔短接，调节使表头满偏。此时，根据闭合电路的欧姆定律有

          （1）

习惯用表示，并称之为欧姆表的中值电阻。

当将被测电阻串联接入电路时经过表头的电流

                                        （2）

由此可以看出，对于给定的欧姆表，与之间有一一对应的关系。这样，将表头的电流刻度改为与之相对应的值，即做成一个欧姆表。

2.2. 欧姆表的调零电阻

欧姆表中电源的电动势会由于电池的更新而升高，也会随着电池的老化而逐渐降低。为了使欧姆表在不同电动势下，均能在时表头指针指向满刻度，欧姆表都设有调零电阻。为了减小因电源电动势的变化造成的测量误差，欧姆表中的调零电阻基本上采用如图2所示的连接方式，而不采用如图1所示的连接方式。^[6]

图2中虚线框内的、、、共同构成一个量程可微调的表头。当电源电动势低于（或高于）标准值时，调零时将调零电阻滑片上移（或下移），使流经表头的电流达到满偏，即欧姆调零是通过改变表头的量程来实现的。

2.3. 欧姆表如何扩展量程

欧姆表的刻度是不均匀刻度，为了使欧姆表各档能简单明确地共用刻度线，其量程倍率通常采用10进制（如档，档，档，档，档）。改变欧姆表的量程，其本质是改变欧姆表的中值电阻。而，所以可通过改变表头的满偏电流或改变电源的电动势来扩展欧姆表的量程。^[7]

图3为国产100型万用电表电阻测量电路图。^[8] 91~92可以看出档，档，档，档是通过改变与表头并联电阻的阻值以改变虚线框内等效表头的满偏电流来实现的，而档是通过同时改变表头的满偏电流和电源电动势来实现的。

3. 欧姆表的误差分析

3.1. 欧姆表的测量误差分析

由式（1）、（2）式得

                                 （3）

对（3）式求微分得

                   （4）

（4）式用增量表示如下：

                  （5）

所以被测电阻的相对误差

            （6）

结合（3）、（4）式，可得

 （其中）      （7）

由式（7）可以看出，影响被测电阻测量误差的因素有两个：其中，此误差由欧姆表工作时的中值电阻与标称中值电阻之间的误差造成，而欧姆表中值电阻产生变化的主要原因是由其电源电动势及内阻的变化；，此误差由电流测量误差引起，它的大小除了跟电表的精确度等级有关外，还和被测电阻和中值电阻的比值有关。

3.2. 电池电动势及内阻变化引起的测量相对误差

3.2.1. 简单电路欧姆表的误差分析

将欧姆表的电源电动势、内阻的标称值和实际值分别记为、和、，中值电阻的标称值和实际值分别记为、。

当调零电阻采用图1所示的连接方式时，调零后欧姆表的中值电阻

  ，                            

         所以                     

由此引起的被测电阻的相对误差

                                   （8）

由（8）式可以看出该误差与欧姆表电源内阻的变化无关，而仅与电源电动势的变化有关。

欧姆表中的电源一般为一节干电池，其电动势的标称值为，而在实际使用过程中，新电池的电动势接近，欧姆表设计的最低工作电动势值通常为。^[9]由此造成的被测电阻的相对误差最大可达。这样的误差太大，因此图1所示的电路图只能用来讲解欧姆表工作的基本原理，而没有实用价值。

3.2.2. 实用欧姆表的误差分析

当调零电阻采用图2所示的连接方式时，只要电路电阻参数设计合理，在欧姆调零过程中，电池电动势及内阻变化引起的测量相对误差通常可忽略不计。下面以上海震华电器厂生产的500型万用电表为例说明上述观点。

500型万用电表的直流电阻电路图如图4所示。其中表头的内阻，满偏电流；电源为一节干电池，标称电动势，标称内阻；电源为叠层电池，标称电动势，标称内阻；电路其它各元件参数如表1所示。^{[8] 134-139 [10]}

图4中虚线框内电路的等效电阻；

当电位器右端电阻为（）时，虚线框内电路的等效电阻

显然，当时，取得最大值，为；当电池电动势降低时，需将电位器向右滑动，当电位器滑至最右端即时，取得实际使用中的最小值为。

以档为例，其标称中值电阻，欧姆表实际内阻。容易算得，的取值范围为。而电源的标称内阻，但实际使用过程中，其真实内阻会略有差别。通过实验测量可知，新的干电池的内阻通常在；当其电动势降至时，其内阻可升至左右。的最大可能值为，由此造成的被测电阻的相对误差最大可能值为。

同理，可以算出当量程分别为、、档时，的最大值分别为

、、（负号表示测量结果偏小）。这些误差与后文要讨论的电流测量误差引起的测量相对误差相比，完全可以忽略不计。

3.3. 电流测量误差引起的测量相对误差

由式（2-5）可知由电流测量误差引起的测量相对误差为

（其中）                             （9）

由（9）式可以看出，除了跟电表的精确度等级有关外，还和被测电阻和中值电阻的比值有关。对于给定的电表，准确度等级是个定值，通常为。如表2所示为取时，随的变化情况。

表2  电表精确度等级时测量相对误差随的变化情况

显然，当时，最小，；当偏离1越远时，越大。也就是说，当被测电阻与欧姆表的中值电阻相等时，测量相对误差最小；偏离越远，测量相对误差越大。特别的，如果在两次测量中的、满足，则两次的测量相对误差相等。

4. 欧姆表的量程选择

同一个被测电阻理论上可以用欧姆表的任意档进行测量，但在实际测量中应选择合适的量程以尽可能减小测量的相对误差。通过上文的分析我们可以知道，电池电动势及内阻的变化引起的测量相对误差在极端条件下的最大值也仅为，而欧姆表精确度等级引起的测量相对误差至少为，因此一般情况下可忽略不计。下面讨论如何正确选择量程以减小测量相对误差。

将欧姆表不同量程的中值电阻从低到高分别记为、、……、、……。根据上文的结论可知：（1）当被测电阻与某一中值电阻接近或相等时，选择对应的量程测量的相对误差最小；（2）当被测电阻小于最小量程（或者大于最大量程）对应的中值电阻时，选择最小量程（或最大量程）测量的相对误差最小；（3）当被测电阻落在某两个相邻量程的中值电阻中间即时，选择这两个量程比选择其他量程测量的相对误差较小。那么这两个量程中，选择哪个量程才能让测量的相对误差最小呢？

记、，根据式（2-9）可知，用这两个量程的测量相对误差分别为和。当时，用这两个量程的测量相对误差相等，此时两个量程均可选择；当时，选择中值电阻为的量程测量的相对误差较小；当时，选择中值电阻为的量程测量的相对误差较小。

当即时，容易解得此时即。而欧姆表相邻两个量程的中值电阻、的比值通常为10，所以。同理，当时，；当时，。

综上所述，当时，选择中值电阻为或中值电阻为的量程均可以；当时，应选择中值电阻为的量程；应选择；当时，应选择中值电阻为的量程。

因此中值电阻为的量程对应的最佳测量范围为

                                              （10）

（10）式从被测电阻的阻值角度说明了利用欧姆表测量电阻时量程选择的依据。但是实际测量中，被测电阻的阻值往往是未知的，因此从电表指针偏转的角度来判断量程的选择更具有实用意义。

结合（1）式和（2）式可得指针偏转角度百分比

                                                   （11）

将式（10）代入式（11）可得

                                                （12）

因此欧姆表的测量最佳区间为满刻度的，测量时应选择合适的量程让指针尽可能落在这个范围内，以减小测量的相对误差。

5. 结论

造成欧姆表测量误差的因素有2个：其一是欧姆表中值电阻的变化；其二为电流的测量误差。欧姆表中值电阻的变化主要由欧姆表电池的电动势及内阻的变化引起，一般情况下，该因素引起的测量相对误差可忽略不计。而电流测量误差引起的测量相对误差的大小除了跟电表精确度等级有关外，还和被测电阻和中值电阻的比值有关。越接近1即被测电阻越接近中值电阻时，测量的相对误差越小。

在欧姆表的使用过程中，通过选择合适的量程可以有效地减小测量的相对误差。正确选择量程的依据是被测电阻和中值电阻之间应满足关系“”，如果从电流角度看，就是应该让电表的指针落在满刻度的“”之间。

参考文献

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本文发表于北大中文核心期刊《物理教师》（32-1216/O4）2014年第3期。