月球探测器的运动研究

——一道基于“嫦娥三号”的原创物理竞赛试题

欧剑雄

（福建省星空体育网页版(中国)官方网站/登录/入口，福建 莆田 351100）

摘要：2013年12月14日嫦娥三号探测器在月球表面成功软着陆，标志我国成为世界上第三个实现地外天体软着陆的国家，在我国航天事业发展中具有里程碑意义。试题以此为背景，抓住影响探测器运动的主要因素，介绍月球探测器轨道设计工作中的双二体简化模型；在考查考生学科能力与学科素养的同时，也让考生对月球探测的运动有所了解，并借此激发学生的爱国热情、学习兴趣和探索自然的欲望。

关键词：嫦娥三号；物理竞赛；双二体简化模型

一、 试题呈现

月球探测器轨道的精确计算是极为复杂的，因此轨道的设计工作通常是分阶段进行的。轨道的初步设计往往只考虑探测器运动的主要因素，并在合理的假设的基础上进行。双二体简化模型假设探测器在地月引力场内运动，略去其它天体引力对探测器运动的影响，具体内容如下：

(a).地球为正球体，半径，地球引力常数；

（地球引力常数指地球质量与引力常量的乘积）

(b).月球为正球体，半径，月球引力常数；

(c).月球绕地心做匀速圆周运动，地月平均距离；

(d).月球引力影响球为一以月心为圆心，半径的球形区域,当探测器在月球影响球之内时，仅考虑月球中心引力的作用，其无穷远处的速度为；

(e).探测器在地月转移轨道上时，忽略月球影响球的大小，仅考虑地球中心引力作用，且认为探测器在远地点时相对月心的速度为。

某月球探测器的飞行示意图如图1所示。发射及入轨段，火箭将探测器送入近地点离地面高、远地点为地月平均距离的椭圆轨道。环月段，探测器先在高度为的圆形轨道上运行一段时间，然后将变轨至近月点高度、远月点高度的椭圆轨道，为最后的动力下降段做准备。已知探测器主发动机的推力为、喷气速度为，入轨时探测器质量为。求：

图1

1． 探测器主发动机工作时的秒流量；

2． 近月制动过程中探测器速度大小的变化量至少多大；

3． 最小时，近月制动过程主发动机的工作时间。

二、 试题背景分析及解答

1.试题背景分析

2013年12月14日21时11分，嫦娥三号探测器在月球表面预选着陆区域成功着陆，标志我国已成为世界上第三个实现地外天体软着陆的国家，在我国航天事业发展中具有里程碑意义。嫦娥三号任务的圆满完成对激发学生的爱国热情、学习兴趣和探索自然的欲望是大有裨益的。本题以此为背景，并结合相关文献^[1][2]的简化模型和合理假设，让考生对月球探测器的运动有一个大致的了解，并借此考查动量定理、圆周运动、万有引力定律、开普勒定律、角动量守恒定律、机械能守恒定律等力学重点知识和基本的微积分计算，在知识考查的同时着重考查考生的物理素养，要求学生能够从物理情境中分析问题并解决问题。

2.试题解答

（1）设某时刻探测器的速度为，在速度为的惯性参考系中，对喷出的气体而言，根据动量定理有，即

所以                                       （1）

（2）根据已知条件，有探测器近地点，远地点。设在地心参考系中，探测器在近地点、远地点速度分别为、，根据机械能守恒定律及开普勒第三定律（或角动量守恒定律），可得：

                        （2）

                              （3）

由式（2）、（3）可解得

                  （4）

月球公转速度

在月心参考系中，探测器在远地点的速度，为使近月制动时探测器速度大小的变化量最少，要尽可能小。因此探测器在远地点的速度要和月球公转速度同向，此时探测器速度。

根据双二体简化模型的假设（e），可知探测器在离月球无穷远处的速度

到达离月面高为的地方时的速度

（式中）

探测器在高度为的圆形环月轨道上的运行速度

故近月制动时探测器的速度增量

（3）近月制动时对探测器根据牛顿运动定律有

                            （5）

又有，，因此式（5）可写成

                          （6）

对式（6）两边分别积分得，，即 

故近月制动时主发动机的工作时间

参考文献

[1]郗晓宁,曾国强,任萱,等.月球探测器轨道设计[M].北京:国防工业出版社,2001

[2]李云飞.地月转移轨道特征及快速设计方法[J].深空探测研究，2011，9（4）：1-7

[3]周小奋.“嫦娥二号”奔月轨道参数再探[J].物理教学,2012(1):51

本文发表于《物理教学》（31-1033/G4）2014年第9期。