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一道关于嫦娥三号探测器软着陆的原创试题

欧剑雄  

（福建省星空体育网页版(中国)官方网站/登录/入口 福建 莆田 351100）

【试题】

如图1所示，为某月球探测器在月面软着陆的最后阶段的运动示意图。探测器原来悬停在点，为避开正下方处的障碍物，探测器需先水平运动到点，再沿竖直下降，到达点时速度变为，此后探测器关闭所有发动机，在自身重力作用下自由下落至月面点。已知月球表面重力加速度，，，。探测器在点时质量，从点运动到点所用时间为。探测器主发动机竖直向下喷气，可产生的变推力，辅助发动机、分别水平向左、水平向右喷气，产生的推力恒为，所有发动机喷出的气体相对探测器的速度大小均为，且发动机的推力与喷气速度、秒流量（单位时间内喷出的气体质量）满足。探测器在如图所示的整个过程中所消耗的燃料质量。求：

（1） 探测器着陆前瞬间的速度；

（2） 探测器从点运动到点过程中所消耗的燃料质量；

（3） 探测器从点运动到点过程消耗的燃料质量（即喷出的气体质量）的最小值。

  图1

【解析】

（1） 根据自由落体公式，有，得

（2） 对段的任意时刻，根据牛顿第二定律，有，即

任取非常短的一小段时间，则有             ①

累加就是探测器消耗的燃料质量，累加就是探测器速度的变化量，而从点运动到点过程中，探测器的初、末速度均为，所以。

故，式①可写成

所以

（3） 探测器从点运动到点的过程中，主发动机产生的推力，

秒流量；

发动机、工作时推力，秒流量

发动机工作时，探测器的加速度

假设从点运动到点的过程中，探测器先加速运动时间，再匀速运动时间，最后再减速运动时间，易知。

探测器加速和减速过程中的位移

匀速过程中的位移，匀速运动的时间

整个过程消耗的燃料质量

代入数据得

当时，最小为

【答案】 （1）；（2）；（3）。

【试题背景及立意】

2013年12月14日21时11分，嫦娥三号探测器在月球表面预选着陆区域成功着陆，标志我国已成为世界上第三个实现地外天体软着陆的国家，在我国航天事业发展中具有里程碑意义。本题以嫦娥三号探测器在月球表面软着陆为背景，首先能够让考生感受到物理与生活的密切联系，有利于激发考生学习科学的兴趣、培养考生用物理知识解决实际问题的习惯。

第（1）小题，考生需要从题目所给的信息中建立探测器的运动模型，然后结合所学的自由落体运动知识解决问题。本小题属于容易题。

第（2）小题，考生需分析出段探测器的主发动机推力是变化的，因此应该采用微元法来解答。本小题知识层面的要求较低，主要考查考生的分析综合能力。本小题属于中难题。

第（3）小题，考生需有较强的理解、分析综合能力，结合题意建立探测器在段的运动模型，并利用所学过的匀变速直线运动、牛顿运动定律等知识求出所消耗的燃料与加速时间之间的函数关系，然后再利用数学方法求出最小值。本小题属难题。

从上面的分析可知，本题的命题立意如下：知识与技能层面，着重考查匀变速直线运动、自由落体运动、牛顿运动定律等力学基础知识；能力层面，着重考查考生的理解能力、分析综合能力和应用数学方法处理物理问题的能力，同时渗透对考生发现问题、提出问题等探究能力的考查；显然，对能力的考查是放在首要位置的。

本文发表于《教学考试》（刊号54-1058/G4）2014年6月。