函数奇偶性的应用

廉换霞  

【摘要】本文概括了函数奇偶性的四点应用，分别为利用函数奇偶性求解析式、求函数值、求参数的值以及命题的证明，并通过具体例子加以说明。

【关键词】函数  奇偶性  应用

函数几乎贯穿整个高中数学的教学，而函数的奇偶性是其重要性质之一，所以理解好、掌握好函数的奇偶性显得尤为重要。下面结合多年的教学实践谈谈函数奇偶性的一些应用。

一 利用奇偶性求解析式

例1．已知为R上的奇函数，且当时，,求．

【解析】设，则，，

因为为R上的奇函数，所以

所以，

说明：本题主要利用奇偶性求解析式，解此类题分三步：第1步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式。

例2．  已知奇函数f(x)，当x∈(0,1)时，. 求f（x)在（-1，1）上的解析式。

【解析】当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1)，

因为f(x)奇函数，所以    因此

说明：本题主要利用奇偶性求解析式，与指数型函数有关，注意的转化。

例3.  设是R上的奇函数，且对任意实数x恒成立。当时，.求在上的解析式．

【解析】当时，，

因为f(x)奇函数，所以    

因为，所以

即是周期为4的周期函数。

当时，，

说明：本题主要利用函数奇偶性、周期性求解析式，应熟练掌握区间间的互化。

二．利用奇偶性求函数值

例4.(1)设是奇函数且满足，当时，,则__________.

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(  )

A．－1       B．0      C．1      D．2

(3)设函数为奇函数，,则（   ）

A.5           B.             C.1             D. 0    

【解析】(1)

(2)f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(2＋0)＝－f(0)．

又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(6)＝0.

(3)因为f(x)是奇函数，所以

令x=-1有

说明：利用已知式子将所求自变量的值转化为已知的自变量值或范围。第(2)题还利用了奇函数的性质：若0在定义域内，则f(0)＝0。第(3)题的难点在于求f(2)的值，，解题的关键在于利用奇函数的定义给x赋合适的值。

例5. 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，求f(1)、f(－1)的值。

【解析】∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)＝yf(x)＋xf(y)，

∴令x＝y＝1时，则f(1·1)＝1·f(1)＋1·f(1)．∴f(1)＝0.

∴令x＝y＝－1时，则f[(－1)·(－1)]＝(－1)·f(－1)＋(－1)·f(－1)．∴f(－1)＝0.

说明：本题解题的关键在于给x赋合适的值。另外这题可增加提问，如“判断f(x)的奇偶性，并说明理由”，涉及到判断抽象函数奇偶性的问题。解题如下：

∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)＝yf(x)＋xf(y)，∴令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)．

将f(－1)＝0代入得f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数.

例6.已知函数，若，求的值。    

【解析】因为是奇函数，所以，得

说明：构造奇函数或偶函数并利用其性质来解题。

三．利用奇偶性求参数的值

例7. (1)已知函数为偶函数，则的值是（    ）

   A．       B．        C．      D．  

(2) f(x)＝ax²＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝__________，b＝__________.

【解析】(1)由奇次项系数为．选B.

(2)∵偶函数定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0.∴a＝3(1).

∴f(x)＝3(1)x²＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.

说明：本题利用了常见函数的奇偶性：（1）一次函数，当b=0时为奇函数；当时为非奇非偶函数。（2）二次函数，当b=0时为偶函数；当时为非奇非偶函数。（3）反比例函数为奇函数。本题第(2)题还涉及到奇偶函数的定义域关于原点对称的知识。

例8. (1)若函数f(x)＝x(a＋1x＋a)为奇函数，则实数a＝________.

（2）设函数,确定的值，使为奇函数．

（3）若函数为其定义域上的奇函数,则k=________.

【解析】(1)由题意知，f(－x)＝－f(x)，即－x(a＋1x＋a)＝－x(a＋1x＋a)，

∴(a＋1)x＝0对x≠0恒成立，∴a＋1＝0，a＝－1.

（2）因为的定义域为，所以，得.

检验：，则，所以为奇函数.

即当时，函数为奇函数．

（3） 而

又f(x)为奇函数，  得

检验：当k=1时，无意义；

      当k=-1时，。

所以 k=-1。

说明：若函数不是常见函数，已知奇偶性求参数值时，常用两种方法：

（1）定义法：由奇偶性定义可得两个函数相等求出参数；

（2）特值法：第1步，由特殊的函数值求出参数，注意所用的自变量需在定义域内；若f(x)是奇函数,常用f(0)=0或f(-1)=-f（1）。若f(x)是偶函数，常用f(-1)=f（1）。第2步，检验求得的参数是否满足题意。

     本题中的第（1）题，虽为奇函数，但因为0不在定义域内，所以不可用f(0)=0来解题。第（3）题，虽用了定义法，但需检验f(x)是否有意义。

四 利用奇偶性证明命题

任何一个函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和（前提定义域关于原点对称）

例9.已知函数f(x)为R上的函数，求证其一定可以等于一个奇函数加上一个偶函数。

【证明】令    ，   

因为  所以h(x为奇函数。

因为   所以g(x)为偶函数。

有f(x)= h(x)+g(x)，且 h(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数。

说明：本题是探究性的证明题，考查了函数奇偶性的定义及性质的应用，以及方程思想。在教学中，讲此命题前可先讲以下题目：设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式

解答如下：∵是偶函数, 是奇函数，∴，且

而,得,即，

∴，.

这样学生会比较容易理解和接受。

参考文献

1.刘绍学.高中数学必修1[M].北京：人民教育出版社.2007.1

2.丁亮,杨星光. 换一些新思路去理解函数的奇偶性[J]. 中国校外教育. 2014.01. 96.

3.张治国.函数奇偶性在解题中的运用[J].数理化学习.6-7.

4.张永辉.新课标高考数学题型全归纳（理科版）[M].清华大学出版社.2013.6

发表刊物名称：2015年度市直中小学教育教学论文汇编（中学理科）  莆田市进修学院

时间：2015年12月