《这才是好读的数学史》——读书笔记

数学组  吴清清

《这才是好读的数学史》介绍了数学从有记载的源头向最初的算术再向代数、几何（平面几何、立体几何、解析几何）、统计学、运筹学等领域不断深化发展的历史进程。按历史发展的顺序先后介绍了古希腊、古印度、古巴比伦、古代中国、中世纪欧洲和15至16世纪数学在顺应社会实践需要的基础上出现的深化、突破。在介绍数学历史的基础上，主要对30种有关基础数学的普通概念进行了独立精彩的叙述，再现了毕达哥拉斯、欧几里德、欧拉等数学大师的风采，还特地穿插了女性数学家在数学发展中做出的巨大贡献，从各方面为读者还原了真实、有趣的数学历史。

本书从最初出版到如今，已历十余年。《这才是好读的数学史》（Math through the Ages）保留两个版本：一个是包含了基本文本的平装本，由奥克斯顿出版社（Oxton House）出版；另一个是“扩展版”，包括为课堂准备的问题和课题，由奥克斯顿出版社和美国数学协会（Math Association of America，MAA）联合出版。本书提供了有关项目问题和评论的解决方案，可供教师于课堂教学中使用。

本书中关于圆锥曲线数学史的阐述非常全面，又通俗易懂，对高中圆锥曲线的学习很有指导意义。书中提到圆锥曲线是关于如何追寻一个希腊神谕提出的问题 ，揭示太阳系的秘密，并帮助启动科学革命的一个故事。

希腊数学家以各种方式解决希腊神谕提出的问题，在柏拉图时代之前，希俄斯的希波克拉底曾经展示了德洛斯的问题是如何归纳成寻找线段，使其能构成两个比例中项。然后过来半个世纪问题才进展到下个阶段，  其中几个解决找到两个比例中项问题的数学家米内克穆斯，他通过切片圆锥体，在空间几何中得到的曲线完成了这件事，每条曲线表示这两个比例相等，因此相交的两条曲线产生了所需的线段。这里面涉及到圆锥曲线的定义。

与圆锥曲线最密切相关的人，是公元前3世纪伟大的几何学家阿波罗尼奥斯，他在米内克穆斯、阿里斯泰俄斯和欧几里得的理论基础上，将这些曲线统一在一个单一的、优雅的理论中。阿波罗尼奥斯开始于一个对顶圆锥——通过旋转在一个轴线上相交的且被轴线平分它们的交角的两条线形成。当圆锥体被一个不通过椎体尖端的平面切割时，平面上的交点就形成了一个叫圆锥曲线的曲线，或者简称圆锥截面。

通过旋转平面，使其与轴的角度由垂直变为平行，阿波罗尼奥斯产生了四种圆锥曲线——圆、椭圆、抛物线和双曲线。对于每一种类型的曲线，他观察线段——这条线段是由曲线上任意一点P作垂线垂直于主轴所形成的。阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》是关于圆锥曲线及其用途的详细描述。它包含的是初期的成果，但它远远超出了其他人所做的。在随后几个世纪的希腊学术研究中，其他学者扩展了圆锥理论，并将其应用于各种问题。其中最引人注目的是公元4世纪早期的一位数学家，即亚历山大的帕普斯，他利用双曲线的焦点和准线的性质，找到了三等分角的说法。

希腊人对圆锥曲线和几何学的处理一般来说完全是“合成的”。也就是说，它处理的是线条、正方形和其他各种形状，而不是数字或坐标。我们认为理所当然的代数和解析几何出现在将近两千年后的未来。比较长度、区域和类似的比例关系，而不是清楚的度量。在后世看来，我们可以看到阿波罗尼奥斯的作品中，有一些强有力的关于圆锥曲线的坐标处理的先例，但解析几何的技术在当时根本就不存在。

1600年到1680年之间的进步与两种全新的方法有关。一种是笛卡尔和费马发明的解析几何。正如费马所示，每个二元二次方程都描述了一个圆锥截面。他的证明可以归结为，由这样一个方程定义的曲线总是满足阿波罗尼奥斯所说的圆锥曲线的“症状”性质之一。

另一种新方法是射影几何。吉拉德•••笛沙格和布莱斯•帕斯卡尔扩展了透视画法的原理创造了一个新的几何学。在欧几里得几何中，如果一个图形是另一个图形进行刚体运动后的图像，则两个图形是全等的。在射影几何中，一个图形可以通过“投影”变换成另一个图形。想象一下从一个光源通过一个胶卷投射到屏幕上的图像。如果在胶片上有一个圆，光线从光源处穿过圆，形成一个圆锥。如果屏幕与胶片平行，那么图像就是一个（更大的）圆。当你倾斜屏幕时，图像会变成椭圆，然后是抛物线，然后是双曲线。因此，在射影几何中，四种圆锥曲线本质上都是“相同的”，因为你可以通过投影变换从一个变到另一个。

解析几何和射影几何结合在一起，被称为“代数几何”，图像的几何结构由多项式方程定义。圆锥曲线——在所以由二元二次方程描述的曲线家族中是最简单的代数曲线。它们对其他代数曲线和曲面研究充当了模型、诱因和问题来源的角色。

现代世界已经看到越来越复杂的圆锥曲线应用——抛物面反射镜和光学透镜、椭圆卫星轨道、双曲线无线电波导航——毫无疑问将会有更多的应用。在这种令人印象深刻的多样性中，曲线家族这强大的四重奏有着惊人的团结。从一个单一的问题开始，它们的几何学的构造和代数的描述统一起来。此外，它们的效用是纯粹的好奇心的一种价值证明。

用19世纪英国数学家J.J.西尔维斯特的话来说就是：“但对于圆锥曲线的这一发现，它可能在柏拉图时代和之后的时间里，被认为是投机性头脑的无益娱乐，那么现在的实践哲学的整个过程……可能在不同的频道运行，而世界历史上最伟大的发现，万有引力定律……可能永远不会在这个时刻被引出。”

在这些有关圆锥曲线数学史的基础上文章后面还提出了一些与课堂教学有关的专题。例如椭圆是到两个定点的距离和为常数的点的“轨迹”。每一个定点都被称为焦点。通过两个焦点被椭圆所截的线段是长轴。长轴的 垂直平分线上被椭圆所截的线段是短轴。①在解析几何之前存在的这个轨迹描述可以被翻译成代数。画一个椭圆的坐标图,其长轴和短轴分别在x轴和y轴上.使(士a,0)为长轴的端点,(0,士b)为短轴的端点,(士c,0)为焦点。②为什么从椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度? ③如果a=9和b=6,那么焦点的坐标是什么?一般来说,关于a,b.c的公式是什么? ④取(x,y)为椭圆上的任意点。用常用的距离公式推导出含有变量x,y和常数a和b的椭圆方程。

再例如抛物线是指到固定点(焦点)和直线(准线)距离相等的点的轨迹。狄奥克勒斯(Diocles)是阿波洛尼奥斯同时代的人,发现所有垂直于准线的光线的反射都通过焦点。 这是制造“燃烧镜”的关键。对于抛物线y=x²,利用一些解析几何可以说明这一点①光线在曲线的某一点上的反射光线的角度与该点切线角度是相等的。导函数y=2x给出了任意点处切线的斜率。Tan^-1函数可得出切线与x轴的夹角。请问切线在(1,1)的角度是多少?垂直射线x=1的反射角是多少(用角度表示)? ②在(1,1)反射线斜率是多少?它的y轴截距是多少? ③反射线x=3的斜率和y轴截距是多少? ④这个抛物线的焦点是什么?

在这些有关圆锥曲线数学史的基础上文章后面在提出了一些与课堂教学有关的专题的基础上，后面对有更多兴趣有更多能力的读者可以的可以深度阅读和思考的专题。

比如(1)德洛斯祭坛的故事出现在许多作家笔下(古代和现代都有)。通常情况下,细节似乎发生改变。对互联网和书籍进行一些研究,以追踪故事变化的细节。你认为最初的故事是什么?

(2)有一种使用绳子绕圈绘制椭圆的方法。把钉子钉在两个焦点上,把绳子绕在两个钉子和铅笔上。移动铅笔,同时保持绳子的弯曲部分绷直,就可以画出一个椭圆。为什么可以这么做?你能找到类似的方法来绘制抛物线和双曲线吗?

(3)从哈雷和牛顿的谈话到《自然哲学的数学原理》的出版,我们的叙述非常迅速,但事实上这两件事相隔了好几年。这中间发生了什么事?请对牛顿《自然哲学的数学原理》的起源和出版历史做一些研究。

这本美国数学学会指定数学史教材，贝肯巴赫图书奖获奖图书。. 从古巴比伦、古埃及、古希腊、中国、中世纪欧洲到当今世界，数学通史概述从源头的算术到现代统计学、运筹学等领域，不断深化发展的历史进程。 从问世到被广泛接纳，30个独立的数学概念发展史，精彩地介绍中间或曲折或离奇的传奇故事。 数学家们之间错综复杂的师徒、同窗、挚友、对手的关系，趣话高智商人群的协作和“互撕”，道不尽的恩怨情仇。